対数正規分布計算機

「普通の分布」ではない、対数正規分布

統計学といえば正規分布（ガウス分布）が王様ですが、現実世界には正規分布では説明できない現象がたくさんあります。特に「マイナスの値をとらない」「極端に大きな値がたまに出る」ようなデータです。

対数正規分布（Lognormal Distribution）は、データの「対数をとったもの」が正規分布に従うような分布です。グラフを見ると、左側に山が偏り、右側になだらかに長い裾（ロングテール）を引いているのが特徴です。

身近な対数正規分布の例

1. 金融工学：株価の変動

株価は0円以下になることはありません。また、今日100円の株が明日101円になる確率と、明日99円になる確率は、金額（差）ではなく比率で考えるのが自然です。ブラック・ショールズ方程式などのオプション価格モデルでは、株価は対数正規分布に従うと仮定されています。

2. 経済学：年収・所得の分布

一部の超富裕層が平均値を押し上げるため、所得の分布は典型的な「右に裾が長い」形になります。平均値よりも中央値のほうが実感に近いのは、この分布の性質によるものです。

3. 工学・自然科学

砕いた岩石の破片のサイズ、大気中の汚染物質の濃度、インターネットのファイルサイズなどは、対数正規分布によく適合します。「何かを掛け合わせていく過程（乗算的過程）」から生じる現象は、対数正規分布になりやすいことが知られています（ジブラの法則など）。

計算式の解説

確率密度関数（PDF）は以下の式で表されます。

ここで重要なのは、パラメータの $\mu$ と $\sigma$ です。これらは分布そのものの平均や標準偏差ではなく、対数変換された基礎データの平均と標準偏差を指します。

• 分布の平均 (Mean)： $e^{\mu + \sigma^2/2}$
• 分布の中央値 (Median)： $e^\mu$ （幾何平均と同じになります）
• 分布の最頻値 (Mode)： $e^{\mu - \sigma^2}$ （山の頂点は平均より左に来ます）

まとめ

「平均値」だけを見ていると、対数正規分布のような歪んだデータの本質を見誤ります。平均値、中央値、最頻値がバラバラになるこの分布の性質を理解することで、リスク管理やデータ分析の精度が格段に上がります。

よくある質問 (FAQ)