主応力計算機
2次元応力状態における最大・最小主応力と最大せん断応力を算出します。
主応力とモールの応力円：材料強度設計の核心
機械部品や建築構造物が外力を受けたとき、その内部には「応力（Stress）」が発生します。しかし、応力の値は「どの断面で切るか」によって変化します。ある角度では垂直応力が最大になり、別の角度ではせん断応力が最大になります。設計者にとって最も重要なのは、「最も過酷な応力状態」を知ることです。
このページでは、複雑な応力状態を整理し、材料が破壊するかどうかを判定するための鍵となる概念「主応力（Principal Stress）」と、それを視覚的に理解するためのツール「モールの応力円（Mohr's Circle）」について、数式だけでなく直感的なイメージも含めて解説します。
1. 応力変換と主応力の定義
物体内部のある点において、x軸、y軸方向に垂直応力 \(\sigma_x, \sigma_y\) が、そしてせん断応力 \(\tau_{xy}\) が作用している「平面応力状態」を考えます。この要素を角度 \(\theta\) だけ回転させた新しい座標系では、応力成分の値が変化します。
このとき、ある特定の角度 \(\theta_p\) において、せん断応力が完全にゼロになり、垂直応力が極大（または極小）になる状態が存在します。この特別な垂直応力のことを「主応力」と呼びます。
- \(\sigma_1\) (最大主応力): 最も大きな引張応力（または最も小さな圧縮応力）。
- \(\sigma_2\) (最小主応力): 最も小さな引張応力（または最も大きな圧縮応力）。
2. 計算式の導出と意味
応力変換の公式を利用して、せん断応力 \(\tau_{x'y'}\) が0になる条件を求めると、以下の主応力の式が得られます。
主応力の公式
\(\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}\)
この式の構造をよく見ると、前半の項 \(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\) は「平均垂直応力（応力円の中心）」を、後半のルートの中身 \(\sqrt{\dots}\) は「最大せん断応力（応力円の半径）」を表していることがわかります。
3. モールの応力円による可視化
ドイツの工学者オットー・モールが考案した「モールの応力円」は、応力状態をグラフィカルに表現する強力なツールです。
- 横軸: 垂直応力 \(\sigma\)
- 縦軸: せん断応力 \(\tau\)
応力状態 \((\sigma_x, \tau_{xy})\) と \((\sigma_y, -\tau_{xy})\)
をプロットし、それを直径とする円を描くと、円周上の点が「あらゆる角度における応力状態」を表します。
この円が横軸（\(\sigma\)軸）と交わる2つの点が、まさに主応力 \(\sigma_1, \sigma_2\) です。このとき縦軸の値（せん断応力）が0になっていることが視覚的にも確認できます。
4. 最大せん断応力 (\(\tau_{max}\))
主応力の面から45度回転した面では、せん断応力が最大となります。これを最大せん断応力と呼びます。
\(\tau_{max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}\)
これはモールの応力円の「半径」そのものです。延性材料の降伏は、この最大せん断応力に支配されることが多いです。
5. 強度設計への応用：なぜ主応力を計算するのか？
単純引張試験で得られる「降伏応力」や「引張強さ」は、あくまで一軸方向の強度です。実際の部品は多軸的な応力を受けます。そこで、複雑な応力状態を「主応力」などに換算して、材料の基準強度と比較する必要があります。
(1) 最大主応力説 (ランキン説)
「最大主応力 \(\sigma_1\) が、材料の引張強さに達したときに破壊する」という考え方です。
適用対象: 鋳鉄、ガラス、コンクリートなどの脆性材料。これらは引張に対して弱く、せん断変形せずにポッキリと折れるように壊れるためです。
(2) 最大せん断応力説 (トレスカ説)
「最大せん断応力 \(\tau_{max}\) が、ある限界値に達したときに降伏する」という考え方です。
適用対象: 軟鋼、アルミニウムなどの延性材料。これらは原子面が滑ることによって変形（降伏）するため、せん断応力が重要になります。
(3) フォン・ミーゼス応力説 (せん断ひずみエネルギー説)
主応力を組み合わせて計算される「等価応力（フォン・ミーゼス応力）」を用いる方法です。実験結果との適合性が良く、現代の有限要素法（FEM）解析などで最も一般的に使われています。
まとめ
設計者は、部品にかかる \(\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}\) を知っているだけでは不十分です。この計算機を使って主応力 \(\sigma_1, \sigma_2\) を求め、それらが材料の許容応力を超えていないかを確認することで、初めて安全な構造物を設計することができるのです。